【東京帝國大學】楕円の面積を様々な方法で求める【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月15日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は大正14年の物理科の問題。
二次曲線で囲まれる部分の面積を計算していきます。

▶︎ 曲線を媒介変数表示して，その変数で積分する
▶︎ 曲線を y = ... の形に直して積分する
▶︎ 楕円を回転し，向きを整えてから積分する
▶︎ 変数変換をし，円の方程式に直して Jacobian を掛けて積分する
という 4 つの方法をご紹介します。

大学入試で採用するとしたら上の 2 つだと思いますが，下の 2 つはトピックとして面白いので，こういう解法もあるんだなと覚えておきましょう。
回転行列・Jacobian ともに大学の教養レベルの数学で登場します。

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＜目次＞
00:00 大正14年 (1925年) の東大入試
00:29 解法1 x, y を媒介変数表示
02:42 解法1 x, y の増減を調べる
06:51 解法1 曲線の概形
10:29 解法1 楕円の面積の計算
13:52 解法2 y = ... の形に直して面積計算
17:40 解法3 楕円を回転させる
20:42 解法3 x', y' がみたす式を求める
25:12 解法3 x'y' の係数を 0 にする
28:07 解法3 楕円の方程式と面積
30:23 解法4 円になるような座標を設定する
32:07 解法4 変数変換による変形に注意
35:56 解法4 異なる座標での微小領域の関係
38:03 解法4 Jacobian に注意した面積計算
38:59 解法4 のまとめ（変数変換して積分）
40:11 解法4 補足：Jacobian を自力で考える
47:05 今回の問題のまとめ
47:42 おわりに