【東大2020】必要条件と十分条件から最大値を求める【二次曲線・三角関数】

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公開日: 2021年12月25日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

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今回は，2020年度の東大理系数学より，楕円の法線をテーマとした問題をピックアップ。
(1) は三角関数の方程式についての証明問題となっており，(2) では (1) の内容をヒントにし，条件をみたす r の最大値を求めます。
(1) から導かれるのはあくまで r についての十分条件であるため，これだけでは最大値を出すことができません。
そこで，必要条件を別途考えることにより最大値を決定します。

この類の議論はいつでも＆どこでも使えるとは限りませんが，東大・京大あたりの入試問題で時折登場するので，こうした考え方も勉強しておくとよいでしょう。
具体的には
・京都大学2001年理系[1]
・京都大学1997年文系[4]
などを参照してください。

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＜目次＞
00:00 2020年度 東大 理系数学 [6]
01:09 (1) 方針：符号の変化を利用
04:13 (1) 中間値の定理を用いる
08:59 (1) θ ≥ 2π の取り扱い
13:55 (1) のまとめ
15:19 (2) 問題文の意味を理解する
19:04 (2) 方針：法線の方程式の解
20:18 (2) 方程式を (1) の形に変形
23:07 (2) θ の方程式とみて (1) を利用
30:18 (2) 特定の点を考える
34:03 (2) のまとめ
39:07 おわりに