【東京帝國大學】楕円の弦の長さ【戦前入試問題】

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公開日: 2021年4月14日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は大正13年の物理科（今でいう物理学科）の問題。
問題文が短く，数式が登場しないのが印象的ですね。
楕円の短軸の一端と楕円上の 1 点を結んで弦をつくるとき，その長さの最大値を考えるというものです。
楕円が円に近いと（離心率が小さいと）短軸の長さが最大値になるのですが，細長い楕円になるにつれ，短軸以外の弦の方が長くなります。
その移り変わりが面白いですね！

こういう短文で数式の設定がないオープンな問題は，解いていて楽しいものです！
受験生の皆さんも，自分で一度考えてみてはいかがでしょうか？
※文系の受験生は二次曲線の勉強をしないと思いますが，楕円の媒介変数表示さえ与えてしまえば，あとは二次関数の問題になるので解くことができます。

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＜目次＞
00:00 大正13年 (1924年) の東大入試
01:49 どの弦が最長か予想する
05:26 楕円の方程式等を準備
06:58点 Q の位置を媒介変数表示する
11:06 PQ の長さの 2 乗を θ で表現
12:22 sinθ = t の 2 次関数とみる
15:30 -1 ≤ t ≤ 1 での最大値を求める
20:38 問題の答えと補足
24:12 解法のまとめ
25:37 おわりに