【京大2012】有理数・無理数関連の証明問題【整数の性質】

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公開日: 2021年6月14日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

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・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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2012年の京大理系数学より，有理数や無理数関連の証明問題をピックアップ。
(1) は，2 の 3 乗根（のうち実数のもの）が無理数であることを証明する問題です。
√2 や √3 などが無理数であることを証明する問題は，高校数学でよく登場しますね。
教科書にも載っている定番の学習内容です。
3 乗根でも，やることは変わりません。
有理数であると仮定して分数表記し，3 乗して両辺の偶奇を調べる......という流れです。
難関大受験生に限らず，この証明は自分で完成させられるようにしたいところですね。

(2) が少々難しいです。
感覚的には当たり前な気もしますが，ちゃんと証明しようとすると結構手数がかかります。
とはいえ，やることはシンプル。
P(x) を x^3 - 2 で割った余り（高々 2 次式）は有理数係数になるわけですが，その式の x に 2 の 3 乗根を代入したら 0 になるという事実から矛盾を導きます。
0 での割り算に注意して，丁寧に論証していきましょう。

整数の証明問題は難関大入試で頻出ですし，差がつきやすい印象です。
東大・京大の受験生はしっかり時間をかけて対策しておきましょう。

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＜目次＞
00:00 2012年 京大 理系数学 [4]
00:42 (1) 背理法での証明が有効
01:36 (1) 有理数と仮定する
03:52 (1) 補足：論証の際の注意点
07:59 (1) 分母も分子も偶数 → 矛盾
10:52 (1) 解法のまとめ
13:05 (1) 他の証明方法について
17:50 (2) 商と余りのセッティング
20:33 (2) x に 2 の 3 乗根を代入
22:58 (2) 次数下げを行う
26:55 (2) (α の係数) ≠ 0 → 矛盾
29:52 (2) q = 0 でも q ≠ 0 でもダメ
32:32 (2) p = 0 → あとは簡単
34:16 (2) 証明の流れのまとめ
36:31 補足：線型独立性について
38:38 おわりに