【京大2017】(1) は簡単，でも (2) は差がつく難問！【対数関数・整数】

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公開日: 2021年5月22日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

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・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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2017年の京大文系数学 [2] より，対数と整数の融合問題をピックアップ。
(1) では，2 以外の素因数をもたない 100 桁以下の自然数の個数を求めます。
これは教科書や傍用問題集にも載っているレベルで，確実に正解したいところです。

難しいのは (2) 。素因数として新たに 5 が加わっており，またちょうど 100 桁でなければいけないので，難易度が跳ね上がっています。
計算の難易度が難しいというわけではないですが，多くの受験生は，どうやって数えればよいのか見当をつけることさえできないのではないでしょうか。
対数をとったときの区間の幅がちょうど 1 なので，log(10)5 = 1 - log(10)2 であることを利用して，整数の項を無理やり出すことで解決の糸口が見えてきます。
超難問というほどではないでしょうが，(2) を自力で解ける人はかなり実力があるといえるでしょう。

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＜目次＞
00:00 2017年 京大 文系数学 [2]
00:30 (1) 2^m と書ける数が答え
01:49 (1) 10 を底とした対数で m を評価
02:57 (1) 100/(log(10)2) の値の評価
05:47 (1) 答えと解法のまとめ
07:41 (2) 2^m·5^l と書ける数が答え
08:55 (2) 対数をとり不等式を立てる
10:06 (2) log(10)5 の変形＆方針
15:04 (2) m - l を別の文字でおく
17:27 (2) k ≧ 0 の場合
21:24 (2) k が負：l の範囲
23:11 (2) k が負：k の必要条件
25:56 (2) k が負：十分性の確認
29:09 (2) k と l の対応は一対一
29:42 (2) 答えと解法のまとめ
35:17 おわりに