【京大2009】カージオイドの長さ｜大学入試数学過去問極方程式積分

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公開日: 2020年11月06日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年日本物理オリンピック金賞
・2014年東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2009年の京大理系数学甲 [6] より，極方程式で表される曲線の長さを求める問題です。
カージオイド（ cardioid ）と呼ばれる有名な曲線ですね！
（ただし今回はあくまで曲線の長さを求める問題なので，名称や形状には着目せず，計算の方法を説明しています。興味がある人は「カージオイド」等で検索してみてください。）

極方程式で表された曲線の長さの公式（前回の動画で紹介したもの）を使えば簡単に計算できますね！
それを使わなくても，xy 座標に直して計算すれば同じ積分形を導けます。

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＜目次＞
00:00 2009年の京大理系数学甲 [6]
00:32 解説①：xy 座標で考える方法（面倒）
01:13 解説②：dx/dθ, dy/dθ を求める
02:23 解説③：dx/dθ, dy/dθ から dL/dθ を計算
04:27 解説④：dL/dθ を積分し，曲線の長さを求める
06:41 解説⑤：極座標での曲線長の計算公式を使う方法（超便利）
08:40 まとめ：極方程式なら極座標 ver. の公式の方が圧倒的に便利
09:30 補足：r = 1 + cosθ の曲線には名前がついている
09:50 おわりに