【京大2017】加法定理×整数問題｜大学入試 数学 過去問

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公開日: 2020年10月26日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2017年の京大文系数学 [4] より，tan の加法定理と整数問題の融合です。
(1) は簡単ですが，(2) で少々手こずるかもしれませんね。
イメージ的には，q が大きすぎると β が小さすぎて tan(α+2β) = 2 とならない，ということなのですが......
それをどう数式に言い換えるかがポイントです。

★補足
同年度の理系数学 [3] は，この問題の誘導を省いたもので，次のような問題です。
==========
[3]
p, q を自然数，α, β を
tanα = 1/p, tanβ = 1/q
を満たす実数とする。このとき，
tan(α+2β) = 2
を満たす p, q の組 (p, q) をすべて求めよ。
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＜目次＞
00:00 2017年 京大 文系数学 [4]
00:48 解説①：(1) 加法定理で tan(α+2β) を計算
04:33 解説②：(1) 式を整理 → q = 2, 3 で p を計算
06:26 解説③：(2) p を q で表し，分解
08:20 解説④：(2) p が 1 より小さくなる q の条件を考える
09:14 解説⑤：q ≥ 7 は NG → q = 4, 5, 6 を調べる。
11:06 まとめ：tan の加法定理＆ q が大きすぎるとダメ
12:45 おわりに