可微分多様体の定義と第二可算公理及びパラコンパクト性

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公開日: 2020年9月14日

可微分多様体の定義って何で第二可算公理とかパラコンパクトが入っていたり、そうじゃなかったりするのか、めんどくさい人に朗報です。

ずばり第二可算性仮定しとけば十分だよってことを言ってるだけです。(実は連結性を仮定するとパラコンパクトから第二可算でもあることも言えます。)

微分可能多様体の定義は端的にいって多様体を微分するために必要な座標変換が微分可能であることを言っています。つまり多様体に定義されるベクトル場などの切断を滑らかに取るために必要な定義です。だけど、積分するためにはそれだけでは十分ではありません。1の分割がなければ、多様体を大域的に積分することは出来ません。可微分多様体にパラコンパクト性があれば1の分割が取れます。一方、第二可算公理を満たす局所コンパクトHausdorff空間はパラコンパクトになることが知られています。特に多様体に第二可算公理を課せばパラコンパクトになります。今回はこの定理の証明を紹介させていただきました。

・参考文献

微分形式の幾何学
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