代数学(群論)　部分群の対応（自称第4準同型定理）【概要欄参照】

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公開日: 2020年7月29日

一般に群Gの指数pの部分群Hの個数は、指数pのpG（Gの元をp回足したもののなす群）を含む部分群Hの個数に一致し、部分群の対応により、これは、G/pGの部分群π(H)と対応しますが、第3同型定理から、この部分群の指数は一致します。Gをp個に分けるならば、G/pGもp個の剰余類に分けるからです。このようにして一般にZ^2においては、このような部分群はp＋1個あることが知られております。
（証明例）
アーベル群なので加法的に書いて、G=Z⊕Z, 直和とする。
pG=pZ⊕pZ, もとめる部分群 H, [G:H]=p から pG⊂H
H/pG⊂ G/pG, G/pG=(Z/pZ)⊕(Z/pZ), G/pG の指数p部分群の個数を
を考える lG/pGl =p^2 , G/pG の自明でない元はG/pG=(Z/pZ)⊕(Z/pZ),
からすべて指数p部分群を生成する
p^2-1, 生成元のとりかたが Z/pZ と同型なので p-1個
ゆえに(p^2-1)/(p-1)=p+1 個 となる

環論でもイデアルを用いて同じようなことが言えるのでとても大切な定理でしょう。