【前編】複素関数論ショートコース【複素積分って何？】【ローラン展開って何？】

たまき(環耀)

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公開日: 2019年1月18日

※この動画の最初の方で説明した目標の積分の式「∫ -∞ ~ ∞ (x^4+1)^(-1) dx」の答え 2π√2 / 3 は間違っており、正確には 2π√2 / 4 つまり π / √2 です。この動画の続編である後編の動画 15:21~ 頃でちょっとした計算ミス（s^4+1 を s で微分した結果を 3*s^3 としてしまっている、正確には 4*s^3 です）をしてしまったが故にこうなっています。大目に見てください(^^;;

複素関数論をコンパクトにまとめてショートコースにしました。前編となるこの動画では、複素関数の微分可能性（正則性）や、ローラン展開とは何か？、複素積分の意味について解説しました🐟

この動画の続きとなる【後編】では、この【前編】動画の最後の方で特殊なケースについて計算した、複素積分を計算する上で基本となる『コーシーの積分定理』・『留数定理』について解説します。
「【後編】複素関数論ショートコース【留数定理】【コーシーの積分定理】」
https://www.youtube.com/watch?v=1v-7dN0t038
そして、留数定理を用いて∫ -∞ ~ ∞ (x^4+1)^(-1) dx の積分を計算します🐟

リーマンの素数公式の導出の際には、これらの複素関数論の知識は必須ですので、ぜひ覚えてくださいね！

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参考文献：

小山信也 (2010)「素数からゼータへ、そしてカオスへ」日本評論社. ISBN: 978-4-535-78553-3.

高橋礼司 (2011) 「基礎数学 8 [新版] 複素解析」東京大学出版会. ISBN: 4-13-062106-8.