中1数学【平面・空間図形】「平面・空間図形の計算問題・まとめ」

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公開日: 2025年2月20日

『裏ワザ！円すいの側面の面積の公式』はコチラからご覧下さい⇒ https://youtu.be/kkoSY3J_pEc
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この動画では、中1数学で学習する「平面・空間図形」についての問題の解説動画をお送りいたします。
今回は「平面・空間図形の計算問題 まとめ」です。

平面・空間図形の計算で出てくる↓の代表的な計算問題を取り上げてみました。
(1) 半径5㎝、中心角が144°のおうぎ形の弧の長さと面積を求めなさい。
(2) 半径3㎝、弧の長さが2π㎝のおうぎ形の中心角と面積を求めなさい。
(3) 次の立体の表面積と体積を求めなさい。
① 半径3㎝、高さ5㎝の円柱
② 半径3㎝、高さ4㎝、母線5㎝の円錐
③ 底面の直角三角形の底辺3㎝・高さ4㎝・斜辺5㎝、高さが6㎝の三角柱
(4) 半径3㎝の球の表面積と体積を求めなさい。
(5) 半径6㎝の半球の表面積と体積を求めなさい。

問題の解き方と答えは以下の通りです。
(1)
円の中心角360°・円周10π㎝・面積25π㎝²
おうぎ形の中心角144°
円に占めるおうぎ形の割合 144°/360°＝ 2/5

おうぎ形の弧の長さ 10π×2/5＝4π(㎝)
おうぎ形の面積 25π×2/5＝10π(㎝²)

(2)
円の中心角360°・円周6π㎝・面積9π㎝²
おうぎ形の弧の長さが2π㎝
円に占めるおうぎ形の割合 2π/6π→ 1/3

おうぎ形の中心角 360°×1/3＝120°
おうぎ形の面積 9π×1/3＝3π(㎝²)

(3)①
(円柱の体積)底面積×高さ
底面積は9π㎝²、高さは5㎝なので
9π×5＝45π(㎝³)
(円柱の表面積)
側面の縦は高さ5㎝、横は底面の円周6π㎝
よって側面積は、5×6π＝30π(㎝²)
底面積は9π㎝²なので、表面積は、30π＋9π×2＝48π(㎝²)

②
(円錐の体積)底面積×高さ×1/3
底面積は9π㎝²、高さは4㎝なので
9π×4×1/3＝12π(㎝³)
(円錐の表面積)
円錐の側面は"円周率(π)×母線×底面の半径"
よって側面積は、π×5×3＝15π(㎝²)
底面積は9π㎝²なので、表面積は、15π＋9π＝24π(㎝²)

③
(三角柱の体積)底面積×高さ
底面積は6㎝²、高さは6㎝なので
6×6＝36(㎝³)
(三角柱の表面積)
側面の縦は高さ6㎝、横は3＋4＋5＝12(㎝)
よって側面積は、6×12＝72(㎝²)
底面積は6㎝²なので、表面積は、72＋6×2＝84(㎝²)

(4)
球の公式
・体積：4πr³/3
・表面積：4πr²
体積は公式に代入して、4π×3³/3＝36π(㎝³)
表面積は公式に代入して、4π×3²＝36π(㎝²)

(5)
体積は公式に代入して、4π×6³/3＝288π(㎝³)
半球は球の体積の半分なので、288π×1/2＝144π(㎝³)
表面積の曲面部分は、公式に代入して半分にすると、4π×6²×1/2＝72π(㎝²)
切り口の面は半径6㎝の円なので、その面積は36π㎝²
よってこの半球の表面積は、72π＋36π＝108π(㎝²)

動画内ではサムネイルに掲載している問題について詳しく解説していますので、ぜひご覧下さい。
今後も中学数学の問題の解説動画を投稿していく予定です。よろしくお願いします。

#数学 #平面図形 #空間図形