【東京帝國大學】半球形の容器から水が抜けるまでの時間は？【微分方程式】

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公開日: 2022年4月19日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

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前回に引き続き，今回も微分方程式の問題です。
半球の形をした容器に水をいっぱいに入れ，底にある穴から流出させるとき，水が全部抜けるのにどれくらい時間がかかるかを調べます。

今回の場合，微小な時間変化 Δt の水位変化 Δh の関係を考えることで，微分方程式を立てることができます。
微小量どうしの繋がりを求めるのがキモですね。
それさえできればあとは積分し，積分定数を求めるだけです。
全体的に，高校生でもなんとか理解できる内容になっていると思います。

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＜目次＞
00:00 昭和9年の東大理学部の入試問題
00:52 問題設定の確認＆背景の説明
05:37 時刻変化と水位変化の関係
10:15 微分方程式の立式と解
14:27 【解答】水が出尽くすまでの時間
15:16 解法のまとめ
16:28 補足①：物理量の次元について
18:24 水位変化のグラフ
19:07 おわりに