類体論 ―― 証明本の解説 ２

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公開日: 2021年11月11日

類体論 ―― 証明本の解説 ２

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8:06 χA＝１ ⇔ A∈ｋ× の別証明

χＡ＝１ ⇔　∀σ∈Ｇ，Ａ＝σ（Ａ）

ｋ×に属さない元Ａ（∈Ｋ×）がχＡ＝１を満たすとして矛盾を導きます。

L＝ｋ（Ａ），そのガロア群をＧ（Ｌ／ｋ）とおきます。

Ｇ（Ｌ／ｋ）≠｛１｝なので、∃ρ∈Ｇ（Ｌ／ｋ），ρ（Ａ）≠Ａ

ここで、KとＬの中間体Ｍおよび

Ｍのｋ自己同型σでσ（Ａ）＝ρ（Ａ）を満たすものの組（Ｍ，σ）の集合Σを考えます。

（L，ρ）∈Σ なので、Σは空集合ではありません。

このΣに、次のような順序≦を導入します。

（M1，σ１）≦（M2，σ２）　 ⇔　M1⊂M2， かつ σ２は σ１ の延長

Σの空でない全順序部分集合 T＝｛Mλ，σλ｝を任意にとったとき、M＊，σ＊を各 Mλ および σλ の合併とすると（M＊，σ＊）は T の上界となります。

よって Zorn の補題より、Σには極大元（M０，σ０）が存在します。

ここでもしM0≠Kならば、K－M0 に属する元ｓが存在します。

Ｎ＝Ｍ０（ｓ）とし、Ｎのｋ自己同型τをτ（ｓ）＝ｓを満たすσ０の延長とすると

順序≦において（Ｎ，τ）は（Ｍ０，σ０）よりも真に大な元となって矛盾します。

よってＭ０＝Ｋで、σ０はガロア群Ｇ（Ｋ／ｋ）の元です。

定義より σ０（Ａ）≠Ａ なので χＡ（σ０）≠１，すなわちχＡ≠１となって矛盾します。

よって背理法によって⇒ の部分が証明されました。

また、Ｇ（Ｋ／ｋ）の元はｋの元を動かさないことから、逆は明らかに成り立ちます。

以上により、命題は証明されました。　□