【京大1999】(1) の不等式の意味するところは？【不等式の証明】

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公開日: 2021年6月20日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

1999年の京大入試より，不等式の証明問題をピックアップ。
(1) を用いて (2) を証明するという流れになっています。

(1) は，両辺の分母を払って（または通分して）左辺と右辺の差を考えれば，苦労せずに証明することができます。
東大・京大レベルの受験生であれば必ず正解したい問題ですね。

(2) は，式の形を見るといかにも (1) を使いそうだと気づくわけですが，具体的にどう使うかが頭の使いどころです。
(1) の式を見ると，a どうし，b どうしが分母・分子で揃っている方が分数の和は小さいということがいえますね。それを x1, x2, ..., xn にも適用します。
x1, x2, ..., xn は「 1, 2, ..., n の並び替え」になっているわけですが，xk の添字と xk の値自体の大小関係が重要というわけです。
(1) の不等式を使うことで，x1 = 1, x2 = 2, ..., xn = n という「添字と値が揃った状態」が，和の値を最小にするということがしたがいます。
それが導けたら，あとは 1/(n^2 + 1) の和が n - 8/5 より大きいことを証明すれば OK です。
部分分数分解や積分による評価を用いて証明しましょう。

大学入試というよりは，数学オリンピック的な雰囲気もちょっとある問題でした。
▶︎ (1) の不等式を (2) でいかに使うか
▶︎ 1/(n^2 + 1) の和が n - 8/5 より大きいことをいかに示すか
が山場で，なかなか難しい問題だと思います。

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00:00 1999年 京大 理系数学 [3]
00:44 (1) 分母を払って差をとる
03:26 (1) 解法のまとめ
04:25 (2) (1) の不等式の意味するところ
06:53 (2) (1) をいかに使うか
13:51 (2) 入れ替えたい組の定義
15:34 (2) 入れ替え操作と不等式の関係
17:38 (2) 有限回の操作で xk = k となる
19:30 (2) Tn の不等式の言い換え
22:05 (2) Un の不等式の証明
26:50 (2) 解法のまとめ
30:30 (2) 別解：面積で評価する方法
35:04 (2) Un の n → +∞ での極限
37:35 おわりに