【京大2014】mod 3 で考える典型問題を攻略！【整数の性質】

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公開日: 2021年6月12日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

今回は，2014年の京大理系数学より，シンプルな整数問題をピックアップ。
a と b が 3 の倍数でなく，a^3 + b^3 が 81 の倍数であるような (a, b) の組を考えるというものです。

京大の整数問題には mod 3 で考えるものが非常に多く，今回の問題のその 1 つですね。
いきなり mod 9 とか mod 27 で考えると手数ばかりかかるので，まずはシンプルに mod 3 で考えて，条件を満たさないケースを除外するのがよいでしょう。

整数問題はどういうアプローチが良いのか分かりにくい場合が多いですが，
▶︎ 最初は必要条件でざっくり絞る
▶︎ そこから先は細かく議論
というのは，何も整数問題に限らず大切な思考法です。

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＜目次＞
00:00 2014年 京大 理系数学 [5]
00:27 mod 3 で実験（余りを調べる）
06:31 表を利用した記述方法
09:17 表を利用しない記述方法
12:04 a = 3m+1, b = 3n+2 とする方法
14:01 a = 3m+1, b = 3n-1 とする方法
18:33 m + n = 9 でよい理由
21:57 a と b は近い方がよい
23:11 a^2 + b^2 を a - b で表す方法
26:55 解法全体のまとめ
31:18 全て書き出す方法
33:17 絞り込みと書き出しのバランス
34:28 学習者へのアドバイス
35:01 おわりに