【東北帝國大學】難問！有理関数の積分【戦前入試問題】

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公開日: 2021年5月14日

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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
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今回も，前々回・前回に引き続き東北帝國大學の入試問題です。
(a) (b) とは異なり三角関数は登場せず，普通の有理関数の積分になっています。

分母が因数分解された形になっているので，部分分数分解をするという発想に自然と至ると思うのですが，因数分解のパーツを揃えるのにまず一苦労です。
分母が 4 次式だったものをいくつかの分数にバラすので，分子は一般的に 3 次式になります。

その係数を揃えて 1 にするので，部分分数分解の際の条件式は
▶︎ 3 次の係数が 0
▶︎ 2 次の係数が 0
▶︎ 1 次の係数が 0
▶︎ 0 次の係数が 1
の 4 つとなり，ゆえに部分分数分解するパーツは 4 つ用意したいところです。
そして，もちろん各パーツは（手計算で）積分可能である必要があります。
こうした条件を踏まえると，分母の因数 2 つそれぞれについて
▶︎ log の微分
▶︎ arctan の微分
を考えれば，4 種類用意できるので，今回はこれらを利用しました。

用意した 4 つのパーツが独立であるかどうかの判定は簡単ではなく，今回は「なんとなく独立に見える」ものを揃えたというのが正直なところです。
部分分数分解ができ積分を実行できればよいので，パーツの用意自体を厳密にやる必要はない，というのが僕の考えです。
有理関数の部分分数分解，特に「どういう分数に分解すればよいか」いんついて，ご存知の方がいらしたらぜひコメントでお教えください！

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＜目次＞
00:00 昭和8年 (1933年) の東北帝國大入試
00:21 積分の方針：部分分数分解
01:34 分数は 4 つ用意する
07:14 分解後の係数を求める
09:24 各分数の積分
11:15 答えと解法のまとめ
15:22 類題：分数の調達
17:22 類題：係数の調整
18:37 類題：各分数の積分
20:13 類題：答えと解法のまとめ
21:30 複雑な有理関数の積分
23:37 おわりに