【京大2016】突破口はどこだ？３次方程式の難問【方程式の解】

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公開日: 2021年5月30日

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ℹ️ 林俊介のプロフィール
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・栄東中→筑駒高→東大理一→東大物理学科卒
・東大二次の数学で 9 割獲得し現役合格
・2014年 日本物理オリンピック金賞
・2014年 東大実戦模試物理1位

ℹ️ ご注意いただきたいこと
・解説は林俊介独自のもので，大学公式のものではありません。
・書籍等の紹介には Amazon アソシエイトリンクを用います。

2016年の京大入試より，3 次方程式の解についての問題をピックアップ。
実数係数の 3 次式 f(x) について，
▶︎ f(x) = 0 の全ての解 α について，α^3 も解になっている
▶︎ f(x) = 0 の解の中に虚数が少なくとも 1 つ存在する
という条件が成り立っているときに，この f(x) の具体形を求めていきます。

理系の大学受験性であれば de Moivre 定理を学習するので，解となる複素数の大きさが 1 であるとすぐイメージできるでしょうが，文系受験生だとまずそこに思い至るのが難しいかもしれませんね。
最初の突破口は，f(x) = 0 に実数解 x = t が 1 つ存在し，その実数解を 3 乗したものはもとの t 自身であるという事実です。
実数は 3 乗してもやはり実数である以上，t^3 = t でなければいけないわけですね。
ここから t の値を絞ることができます。

あとは，虚数解の 3 乗がどの解と一致しているかで場合分けをしていけば，手数はかかるものの f(x) を求めることができます。
たったこれだけの条件でも，f(x) が決まるのが面白いところですね。
京大の文系数学にしてはかなりの難問ですが，大変面白い内容で，論理的思考力が問われる良問でもあります。

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＜目次＞
00:00 2016年 京大 文系数学 [5]
00:37 実数係数 3 次方程式の実数解
06:19 f(x) = 0 の実数解を求める
10:06 (i) t = 0 のとき
10:57 (i)[1] β^3 = β のとき
11:26 (i)[2] β^3 = βbar のとき
20:01 (ii) t = 1 のとき [1][2]
21:51 (ii)[3] β^3 = 1 のとき
23:18 (iii) t = -1 のとき [1][2][3]
25:16 答えのまとめ
25:51 解法のまとめ
28:41 おわりに