商写像の普遍性

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公開日: 2020年9月22日

グラスマン多様体が背景にある問題です。グラスマン多様体とは、ベクトル空間の部分空間に多様体の構造を入れたもので、射影空間の一般化になっております。例えば2次元射影平面は、直線全体のなす集合ですが、これに位相を入れて、グラスマン多様体と見なすことができます。今この問題においては、n^2次元空間の部分空間として、S^n-1の像によってできる部分空間がS^n-1の対跡点を同一視したものすなわちn-1次元射影平面に同相であって、これはグラスマン多様体となるのです。射影平面をなぜ多様体とみなせることがあできるのか？それを問うような問題になってますね。相変わらず射影空間が大好きなようです。
商写像の普遍性は代数でも幾何でも出てきます。
それらに共通して圏論的に一般化できる訳ですが、これを普遍性といいます。