3次関数の変曲点を作図で求めよ / Construct the Inflection Point of a given Cubic Function

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公開日: 2019年1月29日

3 次関数の変曲点を、コンパスと定規のみの作図で求めてみてください🐟

ヒントはまずどんな 3 次関数 y = ax^3 + bx^2 + cx + d も、x = X - b/3a と x 軸方向に平行移動（立方完成）すると、y = AX^3 + BX + C の形になって、2 次の項を消すことができることです。

※ここで A = a, B = c - b^2/3a, C = 2b^3/27a^2 -bc/3a^2 + d

さらに、y = Y + C と y 軸方向に平行移動すると、どんな 3 次関数も Y = AX^3 + BX という形になります。

この Y = AX^3 + BX の形だと2階微分を計算すると分かりますが、原点 (X, Y) = (0, 0) が変曲点になります。つまり問題としては、Y = AX^3 + BX の原点を作図で求めよ、という問題になります。

そして前前回の放物線の軸の作図と同じく、適当に 3 次関数 Y = AX^3 + BX に 3 点で交わる直線を引き、その解を小さい方から α, β, γ とおきましょう。すると解と係数の関係から、2次の項がないので α + β + γ = 0 となります。

これが効いてきます。

前々回のこちらの動画も参考にしてみてください。
「放物線の軸を作図せよ / Construct the Axis of Symmetry of a given Parabola」
https://www.youtube.com/watch?v=UDK-DJ0ECHY

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