【後編】複素関数論ショートコース【留数定理】【コーシーの積分定理】

たまき(環耀)

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公開日: 2019年1月19日

※この動画の目標の積分の式「∫ -∞ ~ ∞ (x^4+1)^(-1) dx」の答え 2π√2 / 3 は間違っており、正確には 2π√2 / 4 つまり π / √2 です。この動画の 15:21 ~ 頃でちょっとした計算ミス（s^4+1 を s で微分した結果を 3*s^3 としてしまっている、正確には 4*s^3 です）をしてしまったが故にこうなっています。大目に見てください(^^;;

この動画は前回の動画の続きです。
「【後編】複素関数論ショートコース【複素積分って何？】【ローラン展開って何？】」
https://www.youtube.com/watch?v=ETjExDo0ogA&t=314s

後編となる今回では、前回の動画で特殊な場合について計算した複素積分の結果を一般化し、複素積分において基本となる『コーシーの積分定理』『留数定理』を解説し、その後実際に留数定理を用いて ∫ -∞ ~ ∞ (x^4+1)^(-1) dx を計算しました🐟

リーマンの素数公式の導出の際には、これらの複素積分の知識は必須ですので、ぜひ覚えてくださいね！

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参考文献：

小山信也 (2010)「素数からゼータへ、そしてカオスへ」日本評論社. ISBN: 978-4-535-78553-3.

高橋礼司 (2011) 「基礎数学 8 [新版] 複素解析」東京大学出版会. ISBN: 4-13-062106-8.