オイラーから問題が出題された！【数学Ⅲのみ】【オイラーの分割恒等式】/ Euler's Partition Identity

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公開日: 2019年2月27日

かの偉大なる数学者レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler）の発見した、自然数の分割についての驚くべき性質を理解するために、親しみやすい問題形式にしてみました🐟

n を 1〜10 の間の自然数とします。

問題 (1) は『 n を互いに異なる自然数の和の組み合わせで表す方法は何通りか？書き出せ。』

問題 (2) は『 n を奇数の和の組み合わせで表す方法は何通りか？書き出せ。』

最後の問題 (3) は『(1)・(2) の間の法則性を見出し、それを全ての自然数 n に対して証明せよ』

最後の問題 (3) で見抜かれた法則性（オイラーの分割恒等式）は、この動画の中ではオイラーの原証明と同じ方法で証明していきます。

オイラーの原証明は、数列の母関数を用いたものになっています。

母関数は数列を扱う際に非常に強力な手段で、数学Ⅲの知識があれば高校生でも理解できます、この機会にぜひ覚えましょう！

式変形チャンネル（G先生）さんは、このオイラーの分割恒等式のより洗練された全単射による証明を紹介していらっしゃいます、こちらも是非ご覧ください。
「分割数とオイラーの恒等式」
https://youtu.be/F6d7fEMd97Q

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参考文献：

J. アンドリュース, K. エリクソン（著）, 佐藤文広（訳）(2004/2006).「整数の分割（原題：Integer Partitions）」数学書房. ISBN: 978-4-903342-61-0.