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【高校数学】今週の整数#8【合同式の割り算】

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公開日: 2022年6月06日

Corrections:
7:40 このあたりは誤解を招く説明だったと思うで補足させてください。例えば8と5+11は互いに素ではないですが、8,5,11は1以外の共通の約数を持ちません。つまり右側で共通の約数を持たない場合でも、左側の数と互いに素ではないケースはあります(数が足されてはじめて共通の約数が生まれるパターン)。今回のケースである8と8+9との違いで重要な点は、「左側の1以外の約数である2,4,8(左側はこれでしか割れない)を右側の8も1以外の約数として持つこと」であって、その場合に「互いに素でない」ときは右辺のもう一方である9も2.4,8で割り切れなければならないはずなのですが、8と9は互いに素であるためそれができないという理屈です。余計に混乱する人もいると思うので以下証明を載せておきます。

定理:a,bが互いに素であるときa,a+bも互いに素
証明:a,a+bが互いに素でないと仮定する(背理法)。このとき、共通の約数u(>1)を用いてa=su, a+b=tuと表せる。よってb=tu-a=tu-su=(t-s)uであるので、これはaとbが1以外の共通の約数uを持つことになり、aとbが互いに素であることに矛盾する。したがってa,a+bは互いに素である。

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